El apodo de "lagarto" de Costa hace referencia al municipio del estado de Sergipe donde creció, aunque podría ser perfectamente por ese desparpajo de Diego de salirse con la suya tanto dentro como fuera de los terrenos de juegos. Su infancia la pasó en la casa de campo de su abuela, donde usaba los neumáticos de los tractores como porterías.

La madre de Diego era profesora de una guardería. Su padre, José de Jesús Silva, trabajaba en un centro comercial. José era fan de Maradona y del futbolista brasileño Jairzinho, y de ahí que pusiera a sus hijos los nombres de Diego y Jair en homenaje a sus ídolos. Antes de cada partido con los amigos, José pedía a Diego y a su hermano que le ayudaran con las plantaciones de tabaco, pero el "lagarto" Costa y su hermano aprovechaban cualquier descuido para ir lo antes posible a jugar al fútbol, aunque la noche cayera sobre Brasil y el balón apenas fuera perceptible. Lo que fuera necesario para sentirse como su ídolo, Ronaldo Nazario.

A pesar de la pasión por el balón, Diego no deseaba jugar al fútbol de forma profesional. El dinero que su padre le daba no le era suficiente para invitar a una a chica a comer, y viendo como su hermano ya trabajaba y tenía sus propios ingresos, Costa comenzó a trabajar en la frontera de Paraguay, cogiendo mercancías de marcas falsas para posteriormente venderlas.

Su tío le obligó a hacer una prueba para el Barcelona Esportivo Capela en Sao Paulo. La pasó y la carrera de Costa arrancaba a pesar de estar hasta los 16 años jugando en la calle y sin equipo. Con la familia siempre cerca, a Costa le llegó el momento de marcharse a Europa a vivir solo y sin experiencia en el fútbol profesionao, y fueron momentos complicados para el brasileño, que reconoce que lloraba con frecuencia a pesar de decirle a su madre que todo estaba bien.

Ha pasado por ocho equipos en Europa. En el Atlético estuvo varias temporadas y cuando su tren parecía no pasar por Madrid, su oportunidad le llegó cuando la relación del ex entrenador Quique Sánchez Flores y Diego Forlán hizo aguas. Diego supliría al jugador uruguayo. Miguel Ángel Gil Marín, consejero delegado del Atlético quería venderle y continuar con la dupla Forlán-Agüero, pero Quique Sánchez Flores cambió aquella decisión y apostó por Costa. Años más tarde, el tiempo le dio la razón.

Aunque llegó a vestir la camiseta de Brasil en dos amistosos, en marzo de 2014 debutaba con España. En 2014 jugaría su primera Copa del Mundo con el combinado español en su país, Brasil. Su familia lo vivió con nervios y algo de preocupación, ya que parte de la afición brasileña no encajó bien la decisión del de Lagarto de vestir la camiseta de España.

Diego no olvida sus orígenes y las dificultades que ha tenido que pasar. Siempre que puede, Costa regresa a su ciudad natal para repartir alimentos entre las familias más necesitadas en Sergipe. Además, financia una escuela de fútbol para 230 niños. Jugar al póker con sus amigos es una de sus grandes aficiones, y aunque el brasileño ve una clara diferencia entre ambas, la paciencia, y quizás es por eso que en el póker Diego reconozca no tener éxito.