Casado y padre de tres hijos, Arrieta era licenciado en Ciencias Económicas por la Universidad de Deusto, y licenciado en Derecho, por la de Valladolid.

José Ignacio Arrieta fue el primer director general del Ente Vasco de Energía desde 1982 hasta que, en 1985, fue nombrado consejero de Industria del Gobierno Vasco hasta 1987 durante la primera legislatura del Gobierno de José Antonio Ardanza.

En la posterior legislatura -de 1987 a 1991- estuvo al frente del Departamento de Trabajo y Seguridad Social, época en la que puso en marcha el Plan Integral de Lucha Contra la Pobreza, las Ayudas de Emergencia Social (AES) y el Íngreso Mínimo de Inserción (IMI).

Era presidente de honor de MBN Comunicación, empresa que fundó en 1991 y de la que fue presidente, y actual presidente de Editora del País Vasco 93 SA, editora del periódico Estrategia Empresarial. También era consejero de Petronor y consejero de Repsol Comercial.

También era socio de Honor de la Agencia Vasca de Innovación, Innobasque, junto a los expresidentes Pedro Luis Uriarte, Guillermo Ulacia y Alberto García Erauzkin, y los lehendakaris Juan José Ibarretxe y Patxi López. Fue, asimismo, fundador y presidente de AVIC (Asociación Vasca de Empresas de Ingeniería y Consultoría).

Su "intensa" trayectoria profesional comenzó en la empresa de máquina-herramienta Ceferino Bilbao S.A. (1967-1969), para pasar después a Bankunión (1969-1982), en el que llegó a ser director regional y director general adjunto.

Ha sido también presidente de Sidenor Investigación y Desarrollo, consejero de Echevarria, de Aceros de Llodio, de Pedro Orbegozo, de Eurotools, del EVE, de Naturcorp, de Naturgas Energía, de Editorial Iparraguirre y del Consejo Territorial Norte de Mapfre.